Àlgebra lineal

Aquesta llicó cobreix les operacions bàsiques d'àlgebra lineal utilitzant NumPy.

Producte matricial

El producte matricial és una de les operacions fonamentals. En NumPy, hi ha dues maneres d'efectuar-lo:

• La funció numpy.dot() (o el mètode .dot() d'un array). Tot i que pot fer productes escalars i productes de matriu per vector, el seu ús principal per al producte matricial s'ha vist reemplaçat.

• L'operador @ és la forma preferida i més clara d'indicar el producte matricial.

Exemple:

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# Usant l'operador @ (Recomanat)
C_at = A @ B
print("A @ B:\n", C_at)

# Usant np.dot()
C_dot = np.dot(A, B)
print("np.dot(A, B):\n", C_dot)

Nota: Per al producte element a element, cal utilitzar l'operador de multiplicació estàndard *.

Determinant i rang de matrius

Aquestes operacions es realitzen utilitzant funcions del submòdul numpy.linalg.

El determinant d'una matriu quadrada es calcula amb numpy.linalg.det().

A = np.array([[4, 6], [3, 8]])
det_A = np.linalg.det(A)
print("Determinant de A:", det_A) # 4*8 - 6*3 = 32 - 18 = 14

El rang d'una matriu és la dimensió de l'espai columna (o l'espai fila), que és igual al nombre de valors singulars diferents de zero. Es calcula amb numpy.linalg.matrix_rank().

B = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
rang_B = np.linalg.matrix_rank(B)
print("Rang de B:", rang_B) # Aquesta matriu és singular (rang 2)

Inversa de matrius

La inversa d'una matriu quadrada es calcula amb numpy.linalg.inv(). Si la matriu és singular (determinant zero), la funció llançarà una excepció LinAlgError.

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
A_inversa = np.linalg.inv(A)
print("Inversa de A:\n", A_inversa)

# Comprovació: A @ A_inversa ha de ser la matriu identitat
identitat = A @ A_inversa
print("A @ A_inversa:\n", identitat)

Valors i vectors propis

La funció numpy.linalg.eig() retorna una tupla amb:

1. Un array dels valors propis.
2. Una matriu on les columnes són els vectors propis corresponents.

M = np.array([[2, -1], [4, -3]])
valors_propis, vectors_propis = np.linalg.eig(M)

print("Valors propis:", valors_propis)
print("Vectors propis (columnes):\n", vectors_propis)

Descomposicions: SVD, QR, LU

NumPy suporta diverses descomposicions matricials fonamentals en anàlisi numèrica:

• SVD (Descomposició en Valors Singulars): Es calcula amb numpy.linalg.svd(). Descompon una matriu $A$ en $U\mathrm{\Sigma }{V}^T$. És una eina essencial en la compressió de dades i l'estadística.
• QR: Es calcula amb numpy.linalg.qr(). Descompon una matriu $A$ en un producte d'una matriu ortogonal $Q$ i una matriu triangular superior $R$.
• LU (o Descomposició de Cholesky per a matrius definides positives): La descomposició LU es fa amb scipy.linalg.lu (requereix SciPy), però NumPy té numpy.linalg.cholesky() per a matrius simètriques i definides positives, descomponent $A=L{L}^T$.

Exemple (SVD):

A = np.array([[1, 1], [0, 1], [1, 0]])
U, S, Vh = np.linalg.svd(A)

print("Matriu U:\n", U)
print("Valors singulars (S):\n", S)
print("Matriu Vh (V transposada conjugada):\n", Vh)

---

Resolució de sistemes d'equacions lineals

Per resoldre un sistema d'equacions lineals de la forma $Ax=b$, on $A$ és la matriu de coeficients, $x$ és el vector d'incògnites i $b$ és el vector de termes independents, s'utilitza la funció numpy.linalg.solve().

Aquesta funció és generalment més eficient i numèricament estable que calcular l'inversa ($x=A^{-1}b$).

Per exemple, considerem el següent sistema d'equacions:

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ x-2y=-3\end{array}$$

Aquest problema es pot resoldre amb NumPy de la manera següent:

# Matriu de coeficients (A)
A = np.array([[2, 3], [1, -2]])
# Vector de termes independents (b)
b = np.array([8, -3])

# Resoldre A x = b
x = np.linalg.solve(A, b)

print("La solució (x, y) és:", x)
# La solució és (1.0, 2.0)

Jordi Petit
Lliçons.jutge.org
© Universitat Politècnica de Catalunya, 2025