Aplicació: Quadrats màgics (P99555)

Aquesta lliçó presenta una solució del problema P99555 del Jutge que consisteix a determinar si certs arranjaments de números constitueixen o no quadrats màgics. La solució d'aquest problema involucra matrius i llistes.

Quadrats màgics

Una matriu d'$n\times n$ enters és anomenada un quadrat màgic si tots els nombres entre 1 i $n²$ hi apareixen exactament un cop, i si totes les files, les columnes i les diagonals sumen el mateix valor. Als quadrats màgics s'els associa propietats sobrenaturals i apareixen en algunes obres d'art. Per exemple, hi ha un quadrat que és quasi màgic a la Sagrada Família (però conté elements repetits):

El problema

El problema consisteix en llegir una seqüència de quadrats de mida variable i dir, per a cadascun d'ells, si és o no és màgic.

A l'entrada, cada quadrat comença pel seu nombre de files i columnes $n$ seguit dels $n²$ valors que el formen, per files. Quan és màgic cal escriure yes i quan no ho és no.

Per exemple, per a l'entrada

3
1 6 8
5 7 3
9 2 4
4
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
15 10 3 6

cal obtenir la sortida

no
yes

Comproveu perquè.

Estructura del programa

És evident que la resolució d'aquest problema demana a crits la creació d'una funció que, donat un quadrat, indiqui si aquest és màgic o no. Aquesta funció podria tenir la capçalera i especificació següent:

def es_quadrat_magic(q: Quadrat) -> bool:
    """Indica si q és un quadrat màgic o no."""

El tipus Quadrat representarà matrius quadrades de nombres i ve donat per aquesta definició de tipus:

from typing import TypeAlias

Quadrat: TypeAlias = list[list[int]]

Amb això ja podem muntar un programa principal que llegeixi quadrats i escrigui si són màgics o no:

from yogi import read, tokens

def main() -> None:
    for n in tokens(int):
        q = [[read(int) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        print('yes' if es_quadrat_magic(q) else 'no')

Mentre es puguin llegir valors de n amb tokens, es llegeixen n² enters que es desen en una matriu q de mida n ⨉ n, per la qual s'escriu el resultat usant la funció es_quadrat_magic.

Funció per determinar la propietat

Queda ara fer la part més essencial: Escriure la funció es_quadrat_magic que indica si una matriu quadrada de mida n ⨉ n és o no màgica. Per fer-ho, cal assegurar dues condicions:

1. Tots els seus valors es troben entre 1 i n² i no tenen repetits.
2. La suma dels valors de cada fila, de cada columna i de cada diagonal són iguals.

Podríem doncs descompondre es_quadrat_magic en dues noves funcions bons_valors i sumes_iguals que indiquin el resultat de la primera i segona condició respectivament:

def es_quadrat_magic(q: Quadrat) -> bool:
    """Indica si q és un quadrat màgic o no."""

    return bons_valors(q) and sumes_iguals()

La funció bons_valors ha de comprovar primer que tots els valors es troben entre 1 i n²: Això es pot fer fàcilment amb una cerca del valor erroni per totes les files i columnes. Després, ha de comprovar que no hi ha cap repetit: Això es pot fer de moltíssimes maneres. Una d'elles és crear una llista vistos de n² + 1 booleans, de forma que vistos[i] indiqui si el nombre i és a la matriu o no (la posició zero no s'utilitza). Al principi, cap element és vist. Després, per cada element x de la matriu, si encara no s'havia vist, es marca com a vist. Si ja s'havia vist, vol dir que aquell element és repetit.

def bons_valors(q: Quadrat) -> bool:
    n = len(q)
    # comprovar que tots els valors són entre 1 i n²
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if not 1 <= q[i][j] <= n*n:
                return False
    # comprovar que no hi ha elements repetits
    vistos = [False for i in range(n * n + 1)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            x = q[i][j]     # ja se sap que 1 <= x <= n*n. per tant els accessos següents no són fora del vector
            if vistos[x]:  
                return False
            vistos[x] = True
    # en aquest punt, ha passat totes les comprovacions
    return True

La funció sumes_iguals ha de mirar si la suma dels valors de cada fila, de cada columna i de cada diagonal són iguals. Per fer-ho, es pot calcular primer la suma dels elements de la primera diagonal. A continuació, es mira que la suma dels elements de la segona diagonal i de cada fila i de cada columna coincideixin:

def sumes_iguals(q: Quadrat) -> bool:
    n = len(q)
    # trobar suma primera diagonal
    suma = sum([q[i][i] for i in range(n)])
    # comprovar suma segona diagonal
    if suma != sum([q[n - i - 1][i] for i in range(n)]):
        return False
    # comprovar sumes de cada fila i
    for i in range(n):
        if suma != sum(q[i]):
            return False
    # comprovar sumes de cada columna j
    for j in range(n):
        if suma != sum([q[i][j] for i in range(n)]):
            return False
    # en aquest punt, ha passat totes les comprovacions
    return True

I el programa complet és aquest:

from typing import TypeAlias
from yogi import read, tokens


Quadrat: TypeAlias = list[list[int]]


def main() -> None:
    for n in tokens(int):
        q = [[read(int) for _ in range(n)] for _ in range(n)]
        print('yes' if es_quadrat_magic(q) else 'no')


def es_quadrat_magic(q: Quadrat) -> bool:
    """Indica si q és un quadrat màgic o no."""

    return bons_valors(q) and sumes_iguals()


def bons_valors(q: Quadrat) -> bool:
    n = len(q)
    # comprovar que tots els valors són entre 1 i n²
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if not 1 <= q[i][j] <= n*n:
                return False
    # comprovar que no hi ha elements repetits
    vistos = [False for i in range(n * n + 1)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            x = q[i][j]     # ja se sap que 1 <= x <= n*n. per tant els accessos següents no són fora del vector
            if vistos[x]:  
                return False
            vistos[x] = True
    # en aquest punt, ha passat totes les comprovacions
    return True


def sumes_iguals(q: Quadrat) -> bool:
    n = len(q)
    # trobar suma primera diagonal
    suma = sum([q[i][i] for i in range(n)])
    # comprovar suma segona diagonal
    if suma != sum([q[n - i - 1][i] for i in range(n)]):
        return False
    # comprovar sumes de cada fila i
    for i in range(n):
        if suma != sum(q[i]):
            return False
    # comprovar sumes de cada columna j
    for j in range(n):
        if suma != sum([q[i][j] for i in range(n)]):
            return False
    # en aquest punt, ha passat totes les comprovacions
    return True


if __name__ == '__main__':
    main()

Les funcions all i any

Donada una llista de booleans, la funció predefinida all indica si tots són certs. Igualment, donada una llista de booleans, la funció predefinida any indica si algun és cert. Per exemple:

>>> all([True, True, False])
False
>>> all([True, True, True])
True
>>> all([])
True
>>> any([False, False, True])
True
>>> any([])
False

Aquestes funcions són molt útils quan se'ls passa una llista per comprensió. Per exemple, per comprovar que tots els valors són entre 1 i n² a la funció bons_valors es podria fer

    if not all([1 <= q[i][j] <= n*n for i in range(n) for j in range(n)]):
        return False

enlloc de

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if not 1 <= q[i][j] <= n*n:
                return False

com havíem fet abans.

De forma semblant per comprovar si alguna de les sumes de les files és diferent de suma a sumes_iguals es podria fer

    if any([sum(fila) != suma for fila in q]):
        return False

enlloc de

    for i in range(n):
        if suma != sum(q[i]):
            return False

I, usant la mateixa idea, tota la funció es podria reescriure així:

def sumes_iguals(q: Quadrat) -> bool:
    n = len(q)
    suma = sum([q[i][i] for i in range(n)])  # suma primera diagonal
    return suma == sum([q[n - i -1][i] for i in range(n)]) \  # suma segona diagonal
        and all([sum(fila) == suma for fila in q]) \    # sumes files
        and all([sum([q[i][j] for i in range(n)]]) == suma for j in range(n)])  # sumes columnes

Nota: ho deixo amb llistes per comprensió i no generadors per no embolicar més la troca.

Jordi Petit
Lliçons.jutge.org
© Universitat Politècnica de Catalunya, 2025