Introducció a l'àlgebra de Boole

L'àlgebra de Boole va ser creada per George Boole al s. XIX, però els enginyers van veure que era perfecta per a l'electrònica, on la seva funció és descriure i simplificar els circuits.

L'àlgebra de Boole, també anomenada àlgebra booleana, és una estructura algebraica que utilitza variables i operacions lògiques. Les seves variables només poden adoptar dos valors, tradicionalment denominats cert i fals, representats com a 1 i 0 respectivament.

En electrònica digital aquests dos valors es corresponen directament als estats elèctrics dels circuits digitals: un voltatge alt (1) o baix (0). Per això, l'àlgebra de Boole es pot utilitzar per descriure les operacions lògiques dels circuits digitals.

Base de la Computació: L'àlgebra de Boole és una eina fonamental per a l'anàlisi i el disseny dels circuits digitals i és la base de l'aritmètica computacional moderna.
Anàlisi: Ajuda a entendre el funcionament d'un circuit existent, permetent determinar la seva sortida donades unes entrades.
Disseny: Proporciona un mètode sistemàtic per dissenyar circuits digitals que realitzin una funció específica (per exemple, un sumador, un comparador o un multiplexor).
Optimització: Permet simplificar expressions lògiques complexes. Això es tradueix directament en circuits digitals més senzills, que consumiran menys i seran més ràpids i fiables.

Operadors booleans

L'àlgebra de Boole utilitza tres operadors fonamentals. Les portes lògiques s'hi corresponen directament i prenen el mateix nom. Els operadors booleans es poden representar de diferents maneres segons l’àmbit d’aplicació: matemàtiques, electrònica o programació.

NOT:

L'operador NOT també s'anomena negació o inversió lògica. Per a una variable booleana $A$ , s'expressa amb el símbol " $\overset{―}{}$ " sobre la variable, amb el símbol " $\neg$ " o amb un apòstrof " $^{'}$ ". $\overset{―}{A}$ o també $\neg A$ o bé $A^{'}$

La taula de veritat es correspon amb la porta lògica NOT. La sortida és el valor contrari a l'entrada.

$A$	$\overset{―}{A}$
0	1
1	0

OR:

L'operador OR també s'anomena suma o disjunció lògica. Per exemple, per a les variables booleanes $A$ i $B$ s'expressa amb el símbol " $+$ ". $A + B$ o també $A \lor B$

La taula de veritat es correspon amb la porta lògica OR. La sortida és $1$ si alguna de les entrades és $1$ .

$A$	$B$	$A + B$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

AND:

L'operador AND també s'anomena multiplicació o conjunció lògica. Per exemple, per a les variables booleanes $A$ i $B$ s'expressa amb el símbol " $\cdot$ " o la simple juxtaposició. $A \cdot B$ o també $A B$ o bé $A \land B$

La taula de veritat es correspon amb la porta lògica AND. La sortida és $1$ només si totes les entrades són $1$ .

$A$	$B$	$A B$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Prioritat d'operacions

La prioritat de les operacions booleanes és la següent (de més prioritat a menys):

Parèntesis
NOT
AND
OR

Postulats Fonamentals o Axiomes de Boole

Els postulats Boole son regles bàsiques, veritats acceptades sobre les quals es construeix tota l'àlgebra de Boole.

Propietats de la Suma Lògica (OR)

$A + 0 = A$ El 0 és l'element neutre (identitat) de la suma lògica

$A + 1 = 1$

$A + \bar{A} = 1$

$A + A = A$ Llei d'Idempotència

Propietats de la Multiplicació Lògica (AND)

$A \cdot 1 = A$ L'1 és l'element neutre de la multiplicació lògica

$A \cdot 0 = 0$

$A \cdot \bar{A} = 0$

$A \cdot A = A$ Llei d'Idempotència

Propietats de la Negació

$\bar{0} = 1$

$\bar{1} = 0$

$\overset{―}{\overset{―}{A}} = A$

Propietat Commutativa: L'ordre de les variables no altera el resultat.

$A + B = B + A$
$A \cdot B = B \cdot A$

Propietat Associativa: En operacions amb més de dues variables, la manera com s'agrupen les operacions no afecta el resultat.

$(A + B) + C = A + (B + C)$
$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$

Propietat Distributiva: La multiplicació lògica es distribueix sobre la suma lògica.

$A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C)$

Atenció! A diferència de l'àlgebra tradicional, la suma lògica es distribueix sobre la multiplicació lògica.

$A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$

Lleis d'Absorció:

$A + (A \cdot B) = A$
$A \cdot (A + B) = A$

Lleis de De Morgan: Molt importants per a la simplificació.

$\overset{―}{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$
$\overset{―}{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$

Algunes propietats derivades:

$A + \bar{A} \cdot B = A + B$
$A (\bar{A} + B) = A \cdot B$

Funcions booleanes

Una funció booleana és una aplicació que assigna a unes variables booleanes d'entrada un resultat en forma de variable booleana.

Aquesta funció es pot representar de diferents maneres; amb una expressió booleana, una taula de veritat, un mapa de Karnaugh o bé amb un circuit digital combinacional. Amb aquesta base podràs simplificar expressions, dissenyar funcions lògiques i sistemes digitals cada cop més complexos.

Simplificar una funció booleana significa trobar una expressió equivalent amb el menor nombre de termes i variables possible. Això permet construir el circuit amb menys portes lògiques. Per simplificar s'utilitzen les lleis i propietats vistes anteriorment, o bé els Mapes de Karnaugh.

Logos Càtedra Chip

Introducció a l'àlgebra de Boole ​

Operadors booleans ​

NOT: ​

OR: ​

AND: ​

Prioritat d'operacions ​

Postulats Fonamentals o Axiomes de Boole ​

Funcions booleanes ​