Nombres

En els circuits digitals, els nombres s’implementen en notació binària i totes les operacions matemàtiques -suma, resta, comparació, multiplicació, divisió o mòdul- es realitzen manipulant bits.

Exemple: Nombre parell o senar

Dissenyarem un circuit que rebi a l’entrada un nombre de 4 bits i activi la sortida ( $P a r e l l = 1$ ) quan el nombre d’entrada sigui parell.

Un nombre binari és parell si el seu bit menys significatiu (LSB) val $0$ .

Definim la variable d’entrada:

n o m b r e [3 : 0] = [n o m b r e_{3} n o m b r e_{2} n o m b r e_{1} n o m b r e_{0}]

El bit menys significatiu és $n o m b r e_{0}$ .

La sortida és un sol bit:

$P a r e l l = 1$ si el nombre és parell.
$P a r e l l = 0$ si el nombre és senar.

Taula parcial d’exemples (la completa tindria 16 files):

$n o m b r e$	Nombre en decimal	$n o m b r e_{0}$ (LSB)	Paritat	$P a r e l l$
0000	0	0	Parell	1
0001	1	1	Senar	0
0010	2	0	Parell	1
0011	3	1	Senar	0
1110	14	0	Parell	1
1111	15	1	Senar	0

Construir el circuit és força directe, la sortida $P a r e l l$ s'ha d'activar (valor $1$ ) si i només si $n o m b r e [0]$ té el valor $0$ , independentment del valor de la resta de bits de $n o m b r e$ .

La sortida és doncs la negació de $n o m b r e_{0}$ .

P a r e l l = \overset{―}{n o m b r e_{0}}

Per tant, només cal una porta NOT.

Exemple: Mòdul 7 d’un nombre de 4 bits

Dissenyarem un circuit que calculi el mòdul 7 d’un número binari $n$ , de 4 bits. Calcular el mòdul 7 d’un número consisteix en trobar el residu quan aquest es divideix per 7. La notació per aquesta operació és:

r e s i d u = n mod 7

Un número de 4 bits $n [3 : 0] = [n_{3} n_{2} n_{1} n_{0}]$ pot prendre 16 valors diferents des de 0000 a 1111 (de 0 a 15 en decimal).

Els residus després de dividir un nombre per 7 poden prendre valors de 0 a 6. Per tal de representar el resultat de l'operació, n’hi haurà prou amb un nombre de 3 bits, que pot prendre valors del 000 al 111 (del 0 al 7 en decimal).

r e s i d u [2 : 0] = [r e s i d u_{2} r e s i d u_{1} r e s i d u_{0}]

El primer pas per dissenyar aquest circuit és crear la taula de veritat completa que relaciona cada entrada n de 4 bits $n [3 : 0]$ amb el seu residu corresponent de 3 bits $r e s i d u [2 : 0]$ .

$r e s i d u [2 : 0] = n [3 : 0] \mod 7$

$n$ (decimal)	$n_{3} n_{2} n_{1} n_{0}$	$r e s i d u$ (decimal)	$r e s i d u_{2} r e s i d u_{1} r e s i d u_{0}$
0	0000	0	000
1	0001	1	001
2	0010	2	010
3	0011	3	011
4	0100	4	100
5	0101	5	101
6	0110	6	110
7	0111	0	000
8	1000	1	001
9	1001	2	010
10	1010	3	011
11	1011	4	100
12	1100	5	101
13	1101	6	110
14	1110	0	000
15	1111	1	001

Per a cada sortida ( $r e s i d u_{0}$ , $r e s i d u_{1}$ , $r e s i d u_{2}$ ) es construeix un mapa de Karnaugh de 4 variables per obtenir la seva expressió booleana simplificada .

Sortida $r e s i d u_{0}$

Muntem el mapa de Karnaugh de 4 variables d'entrada per a la sortida $r e s i d u_{0}$ i n'identifiquem 3 grups.

n1 n0 n3 n2	01	11
00	1	1
01	1	1
11	1	0
10	1	1

n1 n0 n3 n2	01	11
00	1	1
01	1	1
11	1	0
10	1	1

n1 n0 n3 n2	01	11
00	1	1
01	1	1
11	1	0
10	1	1

L'expressió booleana simplificada per a $r e s i d u_{0}$ tindrà 3 termes:

r e s i d u_{0} = \overset{―}{n_{1}} n_{0} + \overset{―}{n_{3}} n_{0} + \overset{―}{n_{2}} n_{0}

Sortida $r e s i d u_{1}$

Muntem el mapa de Karnaugh de 4 variables d'entrada per a la sortida $r e s i d u_{1}$ i n'identifiquem 2 grups.

n1 n0 n3 n2	11	10
00	1	1
01	1	1
11	0	0
10	1	1

n1 n0 n3 n2	11	10
00	1	1
01	1	1
11	0	0
10	1	1

L'expressió booleana simplificada per a $r e s i d u_{1}$ tindrà 2 termes:

r e s i d u_{1} = \overset{―}{n_{3}} n_{1} + \overset{―}{n_{2}} n_{1}

Sortida $r e s i d u_{2}$

Per a la sortida $r e s i d u_{2}$ identifiquem 2 grups en el seu mapa de Karnaugh.

n1 n0 n3 n2	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	1	1	1	1
11	1	1	0	0
10	0	0	0	0

n1 n0 n3 n2	00	01	11	10
00	0	0	0	0
01	1	1	1	1
11	1	1	0	0
10	0	0	0	0

Així doncs, l'expressió booleana simplificada per a $r e s i d u_{2}$ tindrà 2 termes:

r e s i d u_{2} = n_{2} \overset{―}{n_{1}} + \overset{―}{n_{3}} n_{2}

A partir d'aquestes tres expressions podem emprar les portes lògiques per crear el circuit digital que implementarà la funció $n \mod 7$ .

Exercicis a Jutge.org: Introduction to Digital Circuit Design

Recorda que per accedir als exercicis i perquè el Jutge valori les teves solucions has d'estar inscrit al curs. Trobaràs totes les instruccions aquí.

Logos Càtedra Chip